一、引言
結(jié)構抗震設計理論大致經(jīng)歷了靜力階段、反應譜階段、動力分析階段以及基于性態(tài)的抗震設計理論階段四個階段。
水平靜力抗震理論起源于日本。該理論將建筑物視為一個剛體，地震作用簡化為作用在剛體質(zhì)心的等效水平靜力。這個水平力的數(shù)值等于建筑物的重量乘以一個與結(jié)構本身動力特性無關的比例系數(shù)。1899年，大森房吉在其報告《磚柱和柱狀物翻倒調(diào)查（人造地震動）》明確提出結(jié)構物所受的地震力p可以寫成以下形式：
式中，w為結(jié)構體重量， k=αmax/g為地震系數(shù)，即結(jié)構在破壞時所受最大加速度等于地震動的最大加速度。
反應譜理論始于20世紀三四十年代，是伴隨著強震觀測記錄的增多，以及對結(jié)構動力反應特性的研究而發(fā)展起來的。作為地震工程的核心概念，反應譜理論考慮了結(jié)構動力特性與地震動激勵之間的關系，同時還保留原來的靜力理論形式，在設計中仍把地震慣性力看作靜力，配合彈性的容許應力或極限設計方法，因而應用便利。
目前，對于一般的中小型建筑，基于反應譜理論的底部剪力法和振型分解反應譜法的理論基礎能夠滿足結(jié)構分析要求。而動力時程分析仍存在計算代價大，計算結(jié)果依賴于單元、本構選擇等等問題，因此反應譜法依舊是目前結(jié)構抗震設計過程中的主流。
二、反應譜
單個地震波的反應譜，是指在特定的地面運動下，有阻尼單自由度體系（sdof）的最大反應（通常指絕對加速度、相對速度、相對位移）與體系頻率或周期的關系曲線。對大量特定場地條件的反應譜進行平滑處理，就能得到設計反應譜。
反應譜法將結(jié)構物的地震反應簡化為若干振型反應的疊加來近似，結(jié)構物可以簡化為多自由度體系，結(jié)構物的地震反應可按振型分解為多個自由度體系反應的組合。而每個單自由度體系的反應最大值可以由反應譜求得。
常用的反應譜包括位移反應譜(sd)、偽速度反應譜(psv)、偽加速度反應譜(psa)。通過對基線修正過的地震動記錄進行卷積積分就能得到單個地震波的反應譜，本公眾號2019年的文章《地震波轉(zhuǎn)反應譜 附源碼》中詳細解釋了幾種數(shù)值積分方法，并給出了源碼。
圖1 ei centro波s00e分量記錄修正后加速度時程
及積分得到的速度位移時曲線[1]
圖2典型的加速度、速度和位移放大率同頻率及周期的關系
psv和psa與sd以及自振圓頻率ω之間的關系為：
將相對最大位移sd，擬速度psv，擬加速度 psa的反應譜繪制在同一張對數(shù)坐標上，形成三聯(lián)坐標反應譜（d-v-a譜）。如下圖所示：
圖3 阻尼比為2%、5%、10%時
ei centro波的d-v-a三聯(lián)反應譜
圖中縱坐標v和橫坐標頻率f均為對數(shù)刻度，兩個坐標d和a分別于橫坐標傾斜+45°和-45°。三聯(lián)反應譜最重要的作用就是為了近似估計設計譜的形狀。
如圖3所示，當頻率?。粗芷陂L）時，最大相對位移大，而擬加速度??；當頻率大（即周期短）時，相對位移非常小，而擬加速度相對較大；對于中等大小的頻率或周期，擬速度譜明顯高于譜線兩端。因此，可以將反應譜劃分為三個區(qū)段：低頻區(qū)（即位移段）、中頻區(qū)（即速度段）、高頻區(qū)（即加速度段）。譜位移與速度、譜速度與加速度的交點決定了設計譜的三個放大區(qū)段。在每個區(qū)段，相應的地面運動反應的放大程度達到最大。
從上圖還可以看到，當頻率很低（0.05 hz或更低）時，譜位移與地面峰值位移接近，說明對于柔性特別大的體系，其最大位移反應與地面最大位移反應相等；當頻率很高（25-30 hz）時，擬加速度與地面峰值加速度接近，說明對于剛性體系，其絕對加速度與地面加速度相同。地震記錄反應譜的外形是不規(guī)則的，可能含有多個高峰和低谷，隨著阻尼比的增加，反應譜的形狀會變得平滑。
三、設計反應譜
下圖是housner在1959年根據(jù)當時的四次地震八個記錄所得平均反應譜，這是最早的設計反應譜。反應譜歸一化到零周期加速度（地面加速度）為0.2g，對其他記錄的反應譜則按比例調(diào)整。
圖4 pga歸一化為0.2g的設計譜(housner)[2]
圖片來源：法扎德·奈姆, 奈姆, 王亞勇. 抗震設計手冊[m]. 中國建筑工業(yè)出版社, 2008.
20 世紀 60 年代末，newmark和hall提出地震設計譜的直線形式。他們建議，加速度、速度和位移放大率設計譜分別在低頻段、中頻段和高頻段保持常數(shù)（見表1），與此相應的地面峰值加速度、速度、位移分別為1. 0g、48in/s、36in，由此來標定設計譜。他們所建議的地面運動值和放大率是在若干地震記錄基礎上分析得出的，并未考慮場地條件的不同。圖5表示繪制在三對數(shù)坐標上的設計譜，譜值是由相應地面運動值乘以放大系數(shù)得到的。在頻率約為6hz處，譜加速度下降到與地面峰值加速度相當。假定當阻尼比為2%時，加速度譜線與地面峰值加速度的交叉點在頻率為30hz處，其他阻尼比條件下的譜加速度下降段與阻尼比為2 %的譜加速度下降段平行。根據(jù)指定的加速度對歸一化設計譜比例調(diào)整后，就可用于結(jié)構設計。
圖5 pga歸一化為1.0g 的設計譜 （newmark 和hall）
圖片來源：法扎德·奈姆, 奈姆, 王亞勇. 抗震設計手冊[m]. 中國建筑工業(yè)出版社, 2008.
四、規(guī)范中的設計譜
如果設計允許結(jié)構出現(xiàn)非彈性變形，給定延性系數(shù)就可以對彈性力進行折減，得到非彈性結(jié)構的設計力。riddell和 newmark提出一系列系數(shù)，作為放大率折減因子，將這些系數(shù)乘以彈性設計譜得到非彈性屈服反應譜。
現(xiàn)行抗震規(guī)范采用地震力折減系數(shù)和位移放大系數(shù)來考慮結(jié)構由于非彈性反應吸收能量的能力。
我國的抗震規(guī)范有以下幾個代表性版本。
（1）1959規(guī)范(1961修編)
1959年第一個草案參考了前蘇聯(lián)1957年規(guī)范，隨后在1961年草案中做出了重大的改變，增加了我國學者的研究成果[3]。其中包括：廢除場地烈度的方式，采用調(diào)整反應譜值而不調(diào)烈度來考慮場地條件影響的方式；將設計加速度系數(shù)分解為結(jié)構系數(shù)c與峰位加速度系數(shù)k，即kc=c·k ，該結(jié)構系數(shù)c在物理意義上即為地震力折減系數(shù)。
（2）78規(guī)范和89規(guī)范
78規(guī)范設計反應譜僅與場地土條件有關，阻尼比取5%，反應譜曲線長周期段以規(guī)律下降。為了避免長周期地震作用太小，對反應譜設定了一個下限值為αmin=0.2αmax的水平段，如下圖所示。該水平段不符合反應譜理論，在震害實踐中也并不存在。
89規(guī)范提供了考慮近、遠震和不同場地條件的特征周期tg，阻尼比為5%的標準設計反應譜，其最長周期為3s。
圖6 78和89規(guī)范設計反應譜曲線
89規(guī)范制定時已經(jīng)有了三水準兩階段的設計思想，當時認為小震比中震(設防地震) 低 1.55度左右，相應的地震力降低至約1/3。而從1964年草案開始對于一般建筑結(jié)構的結(jié)構系數(shù)c（地震力折減系數(shù)），規(guī)定該系數(shù)c=1/3，在89規(guī)范中取消了該系數(shù)。設計按中震烈度設防，但地震動參數(shù)αmax 為小震水平，即中震地震動參數(shù)乘以1/3。這樣的做法在當時結(jié)構類型單一的情況下確實能夠通過小震下的彈性設計同時實現(xiàn)小震不壞和中震可修。但是取消結(jié)構系數(shù)c忽略了不同結(jié)構類型的延性差異帶來的地震力水平變化，使得建筑結(jié)構的實際安全度不一致。此外，78規(guī)范和89規(guī)范都沒有提供不同阻尼比反應譜的調(diào)整方法。
（3）2001規(guī)范
2001規(guī)范對89規(guī)范的設計反應譜做了很大改進：為了適應高層建筑以及大跨度空間結(jié)構等基本周期超過3s的需要，將設計反應譜曲線的周期延長到6s；為了滿足阻尼比小于5%的鋼結(jié)構和組合結(jié)構抗震設計、以及阻尼比大于5%的隔震和消能減震建筑設計的需要，提供了不同阻尼比反應譜曲線的調(diào)整方法；采用三個設計地震分組取代遠、近震，同時考慮遠、近震和震源機制的影響；
2001規(guī)范的標準設計反應譜曲線分為四段：
直線上升段，周期小于0.1s的區(qū)段。
水平段，自0.ls至特征周期，取最大值αmax。
曲線下降段（速度控制段），自特征周期至5倍特征周期區(qū)段，衰減指數(shù)γ＝0.9。
直線下降段（位移控制段），自5倍特征周期至6s區(qū)段，下降斜率調(diào)整系數(shù)η1=0.02。
5. 當阻尼比5不等于0.05時，采用最大值的阻尼調(diào)整系數(shù)η2及對標準設計反應譜的形狀參數(shù)γ、進行修正。后來的2010規(guī)范設計反應譜保持了2001規(guī)范反應譜的基本構架，只對反應譜形狀參數(shù)和調(diào)整系數(shù)做了微調(diào)。
圖7 2001規(guī)范設計反應譜曲線
結(jié)語
本文簡要介紹了反應譜理論的發(fā)展過程、規(guī)范設計譜形狀的確定，以及我國抗震規(guī)范相關內(nèi)容的沿革。關于設計反應譜仍舊有包括平臺段高度取值、下降段形狀、特征點標定等等問題有待筆者進一步了解。
參考資料
1.farzad, n., the seismic design handbook. kluwer academic publication, 2005.
2.法扎德·奈姆, 奈姆, and 王亞勇, 抗震設計手冊. 2008: 中國建筑工業(yè)出版社.
3.胡聿賢, 關于我國現(xiàn)行建筑抗震設計規(guī)范gbj 11-89的幾點討論. 建筑結(jié)構學報, 1993. 14(3): p. 2-9.
4.廖振鵬, 地震小區(qū)劃 : 理論與實踐. 1989: 地震出版社.
5.國家標準建筑抗震設計規(guī)范管理組. 建筑抗震設計規(guī)范 (gb 50011-2010) 統(tǒng)一培訓教材[m]. 地震出版社, 2010.