對(duì)于同一個(gè)電路,若各支路,節(jié)點(diǎn)的編號(hào)及方向均相同時(shí),其列寫出的關(guān)聯(lián)矩陣,回路矩陣和割集矩陣之間存在著一定的聯(lián)系。
對(duì)于圖1所示的有向圖,選支路1、2、3為樹(shù)支,作單樹(shù)支割集如圖所示,則可寫出其基本回路矩陣與基本割集矩陣如下:
圖 1
用左乘,可得:
即有:
(1)
由矩陣性質(zhì)可得另一形式為:
(72)
此二式反映了相同編號(hào)的網(wǎng)絡(luò)中,基本割集矩陣與基本回路矩陣之間的關(guān)系。
對(duì)于式1的一般證明可簡(jiǎn)略描述如下:令,則d中任一元素為,下標(biāo)j表示第j條單連支回路,k表示第k個(gè)割集,而則表示把第j回路中i支路元素與第k割集中i支路元素相乘。顯然,若i支路不是同時(shí)包含在j回路與k割集中,則其乘積必為零。而同時(shí)包含在j回路與k割集中的支路條數(shù)必為偶數(shù)。因?yàn)槿粢迫割集的所有支路,則電路分為獨(dú)立的兩部分。若閉合回路跨越兩部分電路,顯然其連接兩部分的支路條數(shù)(包含在k割集中)必為偶數(shù)條。例如對(duì)于圖1所示的網(wǎng)絡(luò),同時(shí)包含在割集1與回路1(由支路4組成的單連支回路)中的支路為4與1。
對(duì)于成對(duì)出現(xiàn)在回路和割集中的支路,如果二條支路方向與回路一致,(此時(shí)對(duì)應(yīng)行中二個(gè)元素同號(hào)),則該二條支路與割集方向必一正一反(此時(shí)對(duì)應(yīng)行中二個(gè)元素異號(hào)),則的值必為零。反之,若二條支路方向與回路方向一正一反,則相對(duì)于割集方向必同號(hào),其乘積亦為零??梢?jiàn)矩陣d中元素均為零,從而可推出式(1)。
若網(wǎng)絡(luò)支路編號(hào)嚴(yán)格按先樹(shù)支后連支編排,則式(1)可寫為:
即有:
(3)
式中,表示由樹(shù)支組成的回路矩陣子矩陣;表示由連支組成的割集矩陣子矩陣。
對(duì)于圖1的電路,若設(shè)節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn),寫出它的關(guān)聯(lián)矩陣為:
用a左乘,得:
即有:
(7-5-4) 或 (5)
實(shí)際上若選擇割集只包圍一個(gè)節(jié)點(diǎn),且割集方向離開(kāi)節(jié)點(diǎn),則這樣組成的割集即為關(guān)聯(lián)矩陣a,即是說(shuō)關(guān)聯(lián)矩陣無(wú)非是割集矩陣的一種形式。由式(1)即可知式(4)成立。
如果支路編號(hào)按先樹(shù)支后連支方式,則關(guān)聯(lián)矩陣可表示為,其中表示由所有樹(shù)支元素組成的子矩陣,表示由連支元素組成的子矩陣。式(4)可描述為:
上式左乘,可得:
即有:
(6)
據(jù)此,基本回路矩陣可寫成:
(7)
從該表達(dá)式可見(jiàn),對(duì)于一個(gè)支路編號(hào)采用先樹(shù)支后連支方式的電路,其基本回路矩陣可通過(guò)關(guān)聯(lián)矩陣求得。
同理,由式(3)及式(6)可得,,因此基本割集矩陣又可表達(dá)為: (8)
由式可知,基本割集矩陣可由關(guān)聯(lián)矩陣求得。
當(dāng)采用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算建立狀態(tài)方程時(shí),直接寫回路矩陣或割集矩陣往往比較困難,而推求關(guān)聯(lián)矩陣卻很方便。因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往由關(guān)聯(lián)矩陣通過(guò)式(7)和式(8)求得回路矩陣與割集矩陣。