在連續(xù)系統(tǒng)中，穩(wěn)態(tài)誤差的計算可以通過兩種方法進行：一種是建立在拉氏變換終值定理基礎(chǔ)上的計算方法，可以求出系統(tǒng)的終值誤差；另一種是從系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)出發(fā)的動態(tài)誤差系數(shù)法，可以求出系統(tǒng)動態(tài)誤差的穩(wěn)態(tài)分量。這兩種計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，在一定條件下可以推廣到離散系統(tǒng)。
由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)形式，所以誤差脈沖傳遞函數(shù)也給不出一般的計算公式。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。 這里僅介紹利用z變換的終值定理方法，求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時的終值誤差。
設(shè)單位反饋誤差采樣系統(tǒng)如圖4.12所示。其中g(shù)(s)為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，e(t)為系統(tǒng)連續(xù)誤差信號，e*(t)為系統(tǒng)采樣誤差信號，其z變換函數(shù)為
(1)
其中
(2)
為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)。
圖1 單位反饋誤差采樣離散系統(tǒng)
如果φe(z)的極點(即閉環(huán)極點)全部嚴格位于z平面的單位圓內(nèi)，即若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用z變換的終值定理求出采樣瞬時的終值誤差
(3)
上式表明，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不但與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與輸入序列的形式及幅值有關(guān)。除此之外，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期的選取也有關(guān)。上式只是計算單位反饋誤差采樣離散系統(tǒng)的基本公式，當(dāng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)g(z)比較復(fù)雜時，計算e(∞)仍有一定的計算量，因此希望把線性定常連續(xù)系統(tǒng)中系統(tǒng)型別及靜態(tài)誤差系數(shù)的概念推廣到線性定常離散系統(tǒng)，以簡化穩(wěn)態(tài)誤差的計算過程。
前面的分析中我們指出，零階保持器的引入并不影響開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點。因此，脈沖傳遞函數(shù)g(z)的極點與相應(yīng)的連續(xù)函數(shù)g(s)的極點是一一對應(yīng)的。如果g(s)有v個s=0的極點，即v個積分環(huán)節(jié)，則由z變換算子z=est關(guān)系式可知，與g(s)相應(yīng)的g(z)必有v個z=1的極點。
在離散系統(tǒng)中，也可以把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)g(z)具有z=1的極點數(shù)v作為劃分離散系統(tǒng)型別的標(biāo)準，與連續(xù)系統(tǒng)類似地把g(z)中v=0,1,2,…的系統(tǒng)，稱為0型，ⅰ型和ⅱ離散系統(tǒng)等。下面討論不同類別的離散系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的概念，見表1。
表1 單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差