為正弦電壓源：
開(kāi)關(guān)接通后電路的微分方程和初始值分別為
非齊次微分方程的通解由兩個(gè)分量組成——此方程的任一特解和與此方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，即
(1) 求特解
凡是滿足微分方程的解均可作為特解。顯然，在作用下的正弦穩(wěn)態(tài)解也滿足方程，可作為特解。求正弦穩(wěn)態(tài)解宜用相量分析法，微分方程對(duì)應(yīng)的相量方程
故電流的振幅相量為
式中，是圖示rl串聯(lián)電路的阻抗。特解時(shí)域表達(dá)式為
(2) 求對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解
齊次微分方程為
其通解為
(3) 非齊次微分方程的通解
將和代入，得
(4) 確定積分常數(shù)
根據(jù)初始條件，時(shí)
得
時(shí)的電流波形
將代入，得到非齊次微分方程的通解
右圖中畫(huà)出了時(shí)、和的波形。時(shí)的電流波形
例2.圖(a)所示電路，開(kāi)關(guān)原是接通的，時(shí)斷開(kāi)，已知。求電壓。
(a)(b)
解：時(shí)電路為零狀態(tài)，由換路定律得：
時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算，先將ab左邊電路化為戴維南電路形式。
當(dāng)ab端開(kāi)路時(shí)，由 ，得
所以開(kāi)路電壓
當(dāng)ab端短路時(shí)，，
故等效電阻，
時(shí)等效電路如圖(b)所示。電路時(shí)間常數(shù)為。
用相量法計(jì)算強(qiáng)制分量
因此
代入通解公式得：
v
例3.圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，時(shí)開(kāi)關(guān)打開(kāi)。要求在時(shí)滿足，求電路參數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系。
解：，
分析得知：電容一階電路屬于零狀態(tài)響應(yīng)；
電感一階電路屬于零輸入響應(yīng)；
根據(jù)kvl，列寫(xiě)方程如下：
(1)
(2)
由式(1)解得 (3)
(4)
由式(2)又解得 (5)
由式(4)和式(5)相等解得