摘 要：提出一種能提高圓分度測量系統(tǒng)精度的測量原理。通過應(yīng)用信號分析技術(shù)對圓分度測量系統(tǒng)中適當(dāng)布置的兩個(gè)讀數(shù)頭的讀數(shù)信號進(jìn)行分析處理，可分離出由測量系統(tǒng)主要誤差源引起的前幾十階讀數(shù)諧波誤差并予以修正。應(yīng)用本測量原理的圓分度測量系統(tǒng)的精度高于采用平均讀數(shù)原理的圓分度測量系統(tǒng)，并可簡化測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，使測量易于實(shí)現(xiàn)。
關(guān)鍵詞：圓分度 測量精度 信號分析技術(shù)
a precise measuring principle of angular indexing
liu wenwen
abstract：a new measuring principle which can increase the accuracy of the angular indexing measuring system is presented．by using the signal analyzing technology to deal with signals read by two read heads of the angular indexing measuring system，the harmonic errors caused by main error resources of the measuring system can be detach and correct．the accuracy of the measuring system using the measuring principle is superior to that using the average read principle．meanwhile，the structure of the measuring system can be simplified．
keywords：angular indexing measuring accuracy signal analyzing technology
1．引言
在圓分度測量系統(tǒng)中，目前多采用平均讀數(shù)原理來提高測量精度，其基本方法是通過在度盤圓周上均布多個(gè)讀數(shù)頭，利用平均讀數(shù)有規(guī)律地消除讀數(shù)中的部分諧波誤差。但這種方法存在一定局限性，一是讀數(shù)中仍然殘留讀數(shù)頭個(gè)數(shù)整數(shù)倍的讀數(shù)諧波誤差，使測量精度難以進(jìn)一步提高（尤其當(dāng)讀數(shù)頭個(gè)數(shù)較少時(shí)）；二是應(yīng)用平均讀數(shù)原理提高圓分度測量系統(tǒng)精度必須建立在多個(gè)讀數(shù)頭的特性*一致的前提下，這就必然增加圓分度測量系統(tǒng)的制造難度和制造成本（尤其當(dāng)讀數(shù)頭個(gè)數(shù)較多時(shí)）。
本文提出一種可有效提高圓分度測量系統(tǒng)精度的新的測量原理。實(shí)際測量證明，應(yīng)用本原理的圓分度測量系統(tǒng)精度高于采用平均讀數(shù)原理的圓分度測量系統(tǒng)，同時(shí)還具有測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、測量易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。
2．基本原理
應(yīng)用本測量原理的圓分度測量系統(tǒng)如圖1所示。被測度盤2與標(biāo)準(zhǔn)度盤1同軸安裝，它們可繞共同的回轉(zhuǎn)中心o作同步轉(zhuǎn)動(dòng)或相對轉(zhuǎn)動(dòng)，讀數(shù)頭3、4分別對標(biāo)準(zhǔn)度盤進(jìn)行細(xì)分讀數(shù)，瞄準(zhǔn)顯微鏡5實(shí)現(xiàn)對被測度盤的瞄準(zhǔn)。測量時(shí)，首先相對移動(dòng)兩度盤，使瞄準(zhǔn)顯微鏡瞄準(zhǔn)被測度盤的“0”刻線時(shí)讀數(shù)4的讀數(shù)為0，并設(shè)定此時(shí)主軸回轉(zhuǎn)角度為0。當(dāng)主軸回轉(zhuǎn)角度為θ時(shí)，瞄準(zhǔn)顯微鏡瞄準(zhǔn)被測度盤的θi刻線，讀數(shù)頭4、3的讀數(shù)分別為ai，bi，在圓周上測得n組數(shù)據(jù)（θi，ai，bi）（i＝0，1，2，…，n-1）。
1．標(biāo)準(zhǔn)度盤 2．被測度盤
3，4．讀數(shù)頭 5．瞄準(zhǔn)顯微鏡
圖
圓分度測量系統(tǒng)存在三種主要誤差：標(biāo)準(zhǔn)度盤的刻劃誤差、主軸晃動(dòng)誤差和度盤的安裝偏心誤差，它們均會(huì)引起讀數(shù)頭的讀數(shù)誤差，所以讀數(shù)頭3、4的讀數(shù)中實(shí)際包含了被測度盤的刻劃誤差δi和上述三種主要誤差引起的讀數(shù)誤差，其中讀數(shù)誤差是一以2π為周期的函數(shù)誤差。若以f（θ）表示此周期函數(shù)誤差，則有
（1）則讀數(shù)頭4的讀數(shù)為
（2）若測量過程中按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，由于讀數(shù)頭3的位置與讀數(shù)頭4相差β角，故讀數(shù)頭3的讀數(shù)同樣包含讀數(shù)誤差，只是在相位上超前了β角，則有
（3）在讀數(shù)信號（ai，bi）中，不能直接分離出被測度盤的刻劃誤差δi，如果將讀數(shù)頭3的讀數(shù)減去讀數(shù)頭4的讀數(shù)，得到綜合信號di為
（4）經(jīng)過適當(dāng)處理后有
（5）綜合信號di消除了被測度盤的刻劃誤差δi，只包含測量系統(tǒng)的讀數(shù)誤差。di也是一周期為2π的諧波函數(shù)信號，故可應(yīng)用信號分析技術(shù)對di進(jìn)行譜分析。若圓周上的讀數(shù)個(gè)數(shù)為n時(shí)，利用ft分析可分離出di中的前n／2階諧波誤差，即
（6）從而可得到前n／2階諧波的幅值和相位（dk，ψk）。比較式（5）和式（6），可得讀數(shù)頭的讀數(shù)諧波誤差信號的幅值和相位（ak，φk）與（dk，ψk）的關(guān)系為
（7）則被測度盤的刻劃誤差為
（8）式（8）即為被測度盤的測量結(jié)果。為了有效地分離出讀數(shù)誤差中的前n／2階諧波誤差，必須合理確定讀數(shù)頭3、4之間的夾角β。β的確定原則是盡可能避免kβ／2＝j(luò)π（k＝1，2，…，n／2，j為整數(shù)）。見式（5），當(dāng)kβ／2j時(shí)，sin（kβ／2）＝0，信號di中將不包含第k階諧波誤差，對di進(jìn)行ft分析時(shí)就不能分離出第k階諧波誤差信號的幅值和相位（ak，φk），則在式（8）中將包含讀數(shù)誤差的第k階諧波誤差的影響，使測量結(jié)果的精度下降。例如，當(dāng)n＝24時(shí)，可取β＝56°或β＝62°，但切不可取β＝60°，因?yàn)楫?dāng)k＝6時(shí)，kβ／2＝180°，di中將不含第6階諧波信號，在式（8）中只能消除1～5階和7～12階諧波誤差，殘留了第6階諧波誤差，從而影響測量結(jié)果的精度。π
3．?dāng)?shù)據(jù)處理流程和測量結(jié)果比對
依據(jù)上述原理，數(shù)據(jù)處理流程如下
（1）在圓周上獲得n組測量數(shù)據(jù)（θi，ai，bi）（i＝0，1，2，…，n-1）；
（2）求出綜合信號di＝bi－ai（i＝0，1，2，…，n-1）；
（3）調(diào)用ft譜分析軟件，獲得綜合信號di中前n／2階諧波的幅值和相位（dk，ψk）（k＝1，2，…，n／2）；
（4）按式（7）分離出讀數(shù)諧波誤差的幅值和相位（ak，φk）（k＝1，2，…，n／2）；
（5）按式（8）修正讀數(shù)頭4的讀數(shù)中的前n／2階諧波誤差，得到被測度盤的刻劃誤差值δi（i＝0，1，2，…，n-1）；
（6）被測度盤的零起刻線誤差為i＝δi－δ0（i＝0，1，2，…，n-1），zui大間距誤差為f＝max（δi）－min（δi）（i＝0，1，2，…，n-1）。
為驗(yàn)證本文提出的圓分度測量原理分離和修正測量系統(tǒng)讀數(shù)諧波誤差的有效性，筆者分別進(jìn)行了采用本測量原理和采用平均讀數(shù)原理的模擬測量計(jì)算，并對二者進(jìn)行比較。設(shè)對一已知零起刻線誤差真值的標(biāo)準(zhǔn)度盤進(jìn)行測量，給定測量系統(tǒng)讀數(shù)誤差的各階諧波幅值和相位（ak，φk）（k＝0，1，2，…，17），對度盤圓周上均布的n＝24個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行測量。采用本測量原理的兩讀數(shù)頭3、4之間的夾角β＝56°。應(yīng)用平均讀數(shù)原理的模擬測量采用圓周上均布5個(gè)讀數(shù)頭的讀數(shù)方式。讀數(shù)頭4、3的讀數(shù)值（ai，bi）、被測標(biāo)準(zhǔn)度盤零起刻線誤差真值io以及采用兩種原理的誤差計(jì)算結(jié)果列于下表（因篇幅所限，未列出平均讀數(shù)原理5個(gè)讀數(shù)頭的讀數(shù)值）。
由表可知，與采用平均讀數(shù)原理的測量結(jié)果pi相比，采用本測量原理得出的測量結(jié)果i更接近于被測度盤零起刻線誤差真值oi，其zui大間距誤差結(jié)果也更接近于被測度盤真值。由此可見，本測量原理能有效分離和修正圓分度測量系統(tǒng)的讀數(shù)諧波誤差，其測量精度高于均布5個(gè)讀數(shù)頭的平均讀數(shù)原理測量方法。理論上，本測量原理能消除全部前n／2＝12階諧波讀數(shù)誤差，而平均讀數(shù)原理只能消除非讀數(shù)頭個(gè)數(shù)整數(shù)倍的各階諧波讀數(shù)誤差（1、2、3、4、6、7、8、9、11、12階），而殘留了讀數(shù)頭個(gè)數(shù)整數(shù)倍的各階諧波讀數(shù)誤差（5、10階）。由于隨著諧波階數(shù)的增高（k＞15），讀數(shù)諧波誤差的幅值將減小到10－2秒數(shù)量級，因此可認(rèn)為本測量原理基本上可以*消除讀數(shù)諧波誤差。
表 原始數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果 （單位：秒）
序號 度盤零起刻線
誤差真值oi 原始數(shù)據(jù) 度盤零起刻線誤差計(jì)算結(jié)果
讀數(shù)頭4讀數(shù)值ai 讀數(shù)頭3讀數(shù)值bi 本測量原理i 平均讀數(shù)原理pi
0 0．00 0．00 -0．90 0．00 0．00
1 0．50 2．96 -0．92 -0．11 0．94
2 1．20 2．89 2．94 1．03 0．53
3 （-0．70） -0．96 -0．45 （-1．19） （-1．93）
4 1．00 -0．48 1．09 0．84 0．95
5 2．80 2．20 3．65 2．20 2．85
6 （3．60） 5．58 5．08 （3．62） （4．08）
7 2．60 2．11 0．93 1．79 1．48
8 3．20 3．90 -0．95 3．35 2．32
9 1．80 2．69 -1．43 1．03 1．76
10 0．90 1．92 2．55 0．84 1．03
11 2．20 -0．16 0．41 1．65 2．61
12 1．60 -3．19 2．48 1．45 0．15
13 1．40 -0．02 2．77 0．87 0．87
14 2．20 3．28 2．32 1．96 2．16
15 0．80 -0．97 3．63 0．48 1．03
16 0．60 2．22 3．43 0．16 0．78
17 1．50 2．30 2．42 1．21 -0．08
18 -0．20 -0．16 -0．72 -0．53 -0．47
19 0．40 3．53 0．90 0．01 0．37
20 -0．70 1．89 -1．27 -1．00 -0．36
21 -0．50 -0．44 0．44 -0．95 -0．70
22 0．20 0．21 2．65 0．08 -1．29
23 0．80 0．77 0．62 0．11 0．68
4．有關(guān)問題的討論
本測量原理能有效提高圓分度測量系統(tǒng)精度的關(guān)鍵在于譜分析技術(shù)，其提高測量精度的有效性取決于頻譜分析的精度。*，在頻譜分析中存在頻率混疊問題。當(dāng)圓周測量點(diǎn)個(gè)數(shù)n較小時(shí)，ft分析只能分離出較少階次的諧波信號，讀數(shù)信號中實(shí)際存在的其余高階諧波將使分離出的前n／2階諧波信號失真，這種失真將隨著測量點(diǎn)個(gè)數(shù)的減小和實(shí)際信號中包含的諧波成分階次的增高而增大，從而使諧波讀數(shù)誤差的修正精度下降。通過適當(dāng)增加測量點(diǎn)個(gè)數(shù)雖然可解決這一問題，但測量點(diǎn)太多將使噪聲增大，同樣會(huì)引起諧波讀數(shù)誤差的修正精度下降。原則上，解決頻率混疊問題的根本方法是在進(jìn)行ft分析之前進(jìn)行數(shù)字低通濾波，因此，截止頻率的確定和數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)將成為決定本測量原理提高圓分度測量系統(tǒng)精度有效性的關(guān)鍵。
為了能有效分離出前n／2階諧波誤差，在測量時(shí)必須針對不同的讀數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)適當(dāng)調(diào)整兩讀數(shù)頭之間的夾角β，β角的調(diào)整誤差是否會(huì)對測量精度產(chǎn)生影響呢？如果兩讀數(shù)頭間的夾角β有一調(diào)整誤差δβ，由式（3）～（6）可知，讀數(shù)信號bi中會(huì)加入一個(gè)常量δβ，綜合信號di中也會(huì)加入一個(gè)常量δβ，在頻譜分析時(shí)，該δβ只會(huì)使綜合信號中的0階（直流）分量改變，并不會(huì)對各階諧波信號的分離產(chǎn)生影響，故讀數(shù)頭夾角的調(diào)整誤差并不會(huì)影響圓分度測量精度，這將有利于應(yīng)用本測量原理的測量裝置的實(shí)現(xiàn)。
本測量原理能有效分離和修正圓分度測量系統(tǒng)的讀數(shù)諧波誤差對測量精度的影響，但與平均讀數(shù)原理一樣，這并不意味著對主軸回轉(zhuǎn)精度和被測度盤安裝精度沒有要求，在測量中，主軸徑向晃動(dòng)和被測度盤安裝偏心引起的瞄準(zhǔn)誤差會(huì)對測量精度產(chǎn)生直接影響。但在測量多面棱體時(shí)，如果采用自準(zhǔn)直儀對被測多面棱體進(jìn)行瞄準(zhǔn)，則主軸晃動(dòng)不會(huì)對測量精度產(chǎn)生影響，此時(shí)可以認(rèn)為采用本測量原理能夠以較低精度的圓分度測量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對高精度多面棱體的測量。
由于本測量原理能實(shí)時(shí)、有效地分離出測量系統(tǒng)中前幾十階具有較大幅值的諧波誤差，并消除其對測量精度的影響，因此其實(shí)際意義在于降低了對標(biāo)準(zhǔn)度盤精度和標(biāo)準(zhǔn)度盤安裝精度的要求，使圓分度測量系統(tǒng)的制造難度和制造成本下降，并使測量易于實(shí)現(xiàn)。
在角度測量中，本測量原理雖不能實(shí)時(shí)地消除測量系統(tǒng)的讀數(shù)諧波誤差對測量精度的影響，但可以在進(jìn)行角度測量前*行上述測量過程，求得測量系統(tǒng)的讀數(shù)諧波誤差后，再對角度測量結(jié)果進(jìn)行讀數(shù)諧波誤差的修正，從而達(dá)到提高角度測量精度的目的。