前段時間，有朋友問我，“混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計中經(jīng)驗(yàn)公式這么多，你最喜歡哪一個呢？”
這是一個有趣的問題。但卻是一個不容易回答的問題。如果你問我最喜歡哪個數(shù)學(xué)公式，我可以脫口而出：
e^iπ+1=0
切換到混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計，哪個公式最具代表性呢？我還真得想一想。
我想，這個公式至少應(yīng)該具備如下幾個特點(diǎn)：
1、足夠簡單，簡單到所有結(jié)構(gòu)工程師都熟悉這個公式。
2、揭露了最基本的結(jié)構(gòu)設(shè)計原理。
3、屬于設(shè)計范疇，而非力學(xué)范疇，比如承受均布荷載的簡支梁，跨中彎矩計算公式m=1/8*ql^2，就是一個力學(xué)公式，而非設(shè)計公式。
4、具有豐富的內(nèi)涵和廣泛的應(yīng)用場景。
基于以上四條，我在腦子里搜索了一番。結(jié)構(gòu)設(shè)計中最偉大的經(jīng)驗(yàn)公式，我選擇如下這條：
as=m/(0.9* fy* h0)
下面解釋我的理由。
首先，這確實(shí)是一條設(shè)計公式，這條公式明確地表述在設(shè)計規(guī)范中。雖然是在地基規(guī)范中出現(xiàn)，但其實(shí)被廣泛應(yīng)用于混凝土梁、板的配筋估算。
其次，它夠簡單。每個結(jié)構(gòu)工程師都能閉眼寫出這條公式，計算也僅僅是簡單地乘除法運(yùn)算。其力學(xué)原理就是彎矩=力x力臂，概念非常清晰。
再次，這條公式只涉及四個參數(shù)和一個常數(shù)。截面彎矩m、截面有效高度h0、鋼筋屈服強(qiáng)度fy、鋼筋截面面積as，這些都是混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計中最基本但又最常用的四個參數(shù)。
唯一 一個常數(shù)0.9，反映的是工程師的常識和經(jīng)驗(yàn)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)刪繁就簡，以便捷的方式給出合理估算（比如地震反應(yīng)譜、抗剪截面判別等），這是結(jié)構(gòu)設(shè)計的一個基本思想。而0.9就是這種思想的體現(xiàn)。
最后，我們再來看看，這個公式幫我們解決了一個什么樣的問題？
混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計，最關(guān)鍵的一項(xiàng)任務(wù)就是根據(jù)內(nèi)力得到配筋。而這條公式，在截面彎矩和截面配筋之間，架起了一道橋梁。知道了截面彎矩和截面參數(shù)，就可以快速估算截面配筋。這對結(jié)構(gòu)工程師來說，是非常重要的。
當(dāng)然，這條公式的厲害之處，還不止于此。我們繼續(xù)討論。
第一條，先說0.9，我們看看0.9的背后隱藏著什么？
相比其他純經(jīng)驗(yàn)公式，此處的0.9是可以被驗(yàn)證的，因?yàn)槲覀冇懈鼫?zhǔn)確只是相對復(fù)雜的抗彎配筋計算公式。
我們知道，這條公式主要適用于不考慮壓區(qū)鋼筋的單筋矩形截面。相對準(zhǔn)確的計算公式是這樣的：
要求得as，需要解一個一元二次方程，先得到受壓區(qū)高度x。
我們來做個變形。用配筋率來表達(dá)as，通過第二個式子可以求出受壓區(qū)高度。通常情況下，對梁板來說，混凝土采用c30，鋼筋采用三級鋼。因此，受壓區(qū)高度就是一個與配筋率相關(guān)的函數(shù)。
接著，我們對第一個式子做變形。
你會發(fā)現(xiàn)，最后這個式子就是0.9的含義?；炷两滩闹?，把此處的γs稱作內(nèi)力臂系數(shù)。
給定截面高度h、as、以及配筋率ρs，我們就可以計算γs。我測算了常用的梁板截面及配筋，γs基本介于0.85~0.95.
對梁來說，配筋率越大，尤其需要采用雙排布筋的時候，γs與0.9的偏差越大（小于0.9）；對板來說，配筋率越小，γs與0.9的偏差越大（大于0.9）。
如果要選擇一個經(jīng)驗(yàn)數(shù)字估算函數(shù)γs，0.9應(yīng)該說是靠譜的。
有人說，這個公式不能計算雙筋截面，但如果你把抗壓鋼筋的作用從公式中分離出去，變形后的公式也是類似形式，0.9也是可以用的。
你看，這就是經(jīng)驗(yàn)，我們用0.9封裝了一套相對復(fù)雜的算法，雖然它并不準(zhǔn)確，甚至比較粗糙，但在絕大多數(shù)情況下，它給出了一個可接受的精度。對工程師來說，這個工具就是有效的。
第二條，減小配筋用量，提高經(jīng)濟(jì)性，是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的一個重要目標(biāo)。如何減少配筋，這條公式給出了思路，即減小彎矩，提高鋼筋強(qiáng)度，加大截面高度。
我們分別看看這三條思路的應(yīng)用場景。
1.減小彎矩
通常情況下，設(shè)計功能確定，荷載基本也是確定的。減小截面彎矩大概有兩種方式。
第一種，在總彎矩恒定的情況下，讓彎矩變得更均勻，對應(yīng)地，配筋均勻，總配筋量往往相對較小。
雙向板vs單向板、雙次梁vs單次梁、連續(xù)梁vs簡支梁、柱距等跨vs不等跨，前者的彎矩比后者均勻，總配筋通常更少。
第二種，減小跨度。在板式結(jié)構(gòu)中，柱帽可以看做平板的支座，加大柱帽，相當(dāng)于減小了板跨。在基礎(chǔ)設(shè)計中，也是類似的原理，筏板加厚區(qū)范圍擴(kuò)大，也相當(dāng)于減少了筏板跨度，這都可以減少板的跨中彎矩。
在梁式結(jié)構(gòu)中，梁端加腋，或者梁端設(shè)置斜撐，跨中彎矩也會有所減小。
當(dāng)然，減小彎矩，本身是一個平衡問題。我們的目標(biāo)是減小構(gòu)件層面的最大彎矩，手段是控制構(gòu)件各個截面的彎矩盡量相等。從配筋角度來說，相等的含義是彎矩與截面高度呈正比。
2.提高鋼筋強(qiáng)度
鋼筋強(qiáng)度與彎矩控制的計算配筋呈簡單的線性關(guān)系。四級鋼比三級鋼強(qiáng)度提高20%，而單位價格僅提高5%~8%，所以，對計算控制的構(gòu)件，采用四級鋼具有明顯的經(jīng)濟(jì)效益。
相同條件下，提高鋼筋強(qiáng)度，意味著減小配筋率，這對施工也是有好處的。
與提高混凝土強(qiáng)度不同，提高鋼筋強(qiáng)度，最小配筋率反而會減小。
3.加大截面高度
截面高度對計算配筋的影響呈線性關(guān)系。如果保持配筋恒定，截面高度與截面彎矩之間近似正比。
對一根簡支梁來說，跨中彎矩最大，做成魚腹梁可有效控制配筋。而對連續(xù)梁來說，支座加腋，可控制支座配筋。
第三條，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，受限于建筑要求，我們的首要目標(biāo)可能是控制構(gòu)件截面高度。其方法也是三種，減小彎矩、提高鋼筋強(qiáng)度、加大配筋。
從經(jīng)濟(jì)性角度來看，控制配筋率在合理范圍，想要減小截面高度，最有效的思路就是減小彎矩，因?yàn)閱渭兲岣吲浣畹脑挘赡軐?dǎo)致?lián)隙群土芽p成為截面設(shè)計的控制因素。
減小彎矩也有兩種辦法：一種是采用更均勻有效的結(jié)構(gòu)布置，比如，跨度不變，雙向板比單向板截面高度更?。贿B續(xù)梁比簡支梁截面高度更小。
另一種是減小構(gòu)件（梁）的荷載分擔(dān)面積，即采用密肋梁。密肋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)一步退化，就會變成板式結(jié)構(gòu)，比如無梁樓蓋、空心樓蓋等。
第四條，經(jīng)濟(jì)性估算。
對普通樓蓋來說，樓板、梁的單位面積成本取決于水平構(gòu)件混凝土、鋼筋的用量，進(jìn)一步，取決于樓板的厚度、梁的高度及抗彎鋼筋面積。
構(gòu)件截面高度一般與跨度呈正比，所以，單位面積的混凝土用量與跨度近似呈正比。
計算彎矩與跨度的平方呈正比，結(jié)合上面這條公式，計算配筋與跨度呈正比。
因此，水平構(gòu)件的單位面積成本大致與跨度呈正比關(guān)系。這條結(jié)論對工程師的概念判斷也是很有用的。
一條短小精悍的公式，凝聚了工程師的智慧與經(jīng)驗(yàn)，為我們的設(shè)計工作提供了簡明開闊的想象空間，我喜歡這樣的公式。