(1) 修正勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)
連續(xù)系統(tǒng)的勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號(hào)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個(gè)方法實(shí)際上仍是判斷特征方程的根是否都在s平面的左半部。然而，在離散系統(tǒng)中，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否全在z平面的單位圓內(nèi)。因此，離散系統(tǒng)不能直接應(yīng)用勞斯—胡爾維茨判據(jù)來分析穩(wěn)定性。從理論上分析，利用關(guān)系式z=ets，可以將z為變量的特征方程轉(zhuǎn)換為以s為變量的特征方程。但因?yàn)閟在指數(shù)中，代換運(yùn)算不方便。為此，必須引入另一種線性變換。將z平面單位圓內(nèi)區(qū)域映射為另一平面上的左半部。這樣，就可以應(yīng)用勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，可采用雙線性變換方法進(jìn)行判斷。
雙線性變換?。?br> ?。?）
式中w是復(fù)變量，由上式解得
?。?）
或采用雙線性變換ⅱ：
（3）
或?qū)懗?
?。?）
此時(shí)
（5）
雙線性變換ⅱ與雙線性變換ⅰ一樣，可以將z平面的單位圓變換成w平面的虛軸。
令w平面的虛軸為 ，則w平面的左半平面為穩(wěn)定區(qū)域， 為w平面的頻率，且由上式可知
其中為s平面的頻率。
此時(shí)，s平面、z平面以及w平面的關(guān)系為
圖1 s平面、z平面及w平面映射關(guān)系
當(dāng)較小時(shí)有
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即w平面的頻率近似于s平面的頻率。這是采用雙線性變換ⅱ的優(yōu)點(diǎn)之一。另外，雙線性變換ⅱ也與下一章的雙線性變換一致，故建議使用雙線性變換ⅱ。
通過z-w變換，就可以應(yīng)用勞斯—胡爾維茨判據(jù)分析線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
胡爾維茨判據(jù)：由系統(tǒng)特征方程各系數(shù)組成的主行列式及其順序主子式全部為正。
該方法隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加，計(jì)算會(huì)變得復(fù)雜。此時(shí)可以采用下面勞斯判據(jù)。
勞斯判據(jù)的要點(diǎn)是：
① 對(duì)于特征方程，若系數(shù)的符號(hào)不相同，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系數(shù)符號(hào)相同，建立勞斯行列表。
② 建立勞斯列表
③ 若勞斯行列表第一列各元素嚴(yán)格為正，則所有特征根均分布在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。
④ 若勞斯行列表第一列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。且第一列元素符號(hào)變化的次數(shù)，即右半平面上特征根個(gè)數(shù)。
〖例4.1〗 應(yīng)用勞斯判據(jù),討論圖2所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中k=1，t=1s。
圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
解：由上一章可知，系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為
系統(tǒng)特征方程為
(1) 如采用雙線性變換ⅰ，即 ，則可得w平面的特征方程為
建立勞斯表
w2 2.632 0.632
w1 0.736
w0 0.632
由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定。
(2) 如采用雙線性變換ⅱ，即，則可得w平面的特征方程為
建立勞斯表
w2 0.658 0.632
w1 0.368
w0 0.632
由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)穩(wěn)定。
采用修正勞斯-霍爾維茨判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)是把離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)聯(lián)系起來了。把z平面變換為w平面的另一好處是可以采用分析連續(xù)系統(tǒng)的頻率法。缺點(diǎn)是要進(jìn)行w變換，對(duì)于高階系統(tǒng)，這種變換是比較麻煩的。通常修正勞斯-霍爾維茨判據(jù)用來校驗(yàn)用其他方法 判定的結(jié)果是否正確。
(2) 二次項(xiàng)特征方程穩(wěn)定性的z域直接判別法
當(dāng)離散系統(tǒng)的特征方程最高為二次項(xiàng)時(shí)，則不必進(jìn)行w變換，也不必求其根。而是直接在z域判別其穩(wěn)定性。
設(shè)系統(tǒng)的特征方程為
w(z)=z2+a1z+a0=0 （6）
式中，a1，a0均為實(shí)數(shù)。當(dāng)滿足下列三個(gè)條件：
① ｜w(0)｜=｜a0｜<1
② w(1)=1+a1+a0>0
③ w(-1)=1-a1+a0>0
則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
〖例1〗 在例中，設(shè)t=1s，試用z域直接判別法確定滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍。
解：圖2所示系統(tǒng)的特征方程為
利用z域直接判別法的三個(gè)條件，有
第一個(gè)式子可解k<2.39，第二個(gè)式子可解k>0，第三個(gè)式子可解k<26.2。即滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍為0<k<2.39。此結(jié)果與用勞斯判據(jù)給出的結(jié)果相同。