一、邏輯運(yùn)算
1. “與”邏輯關(guān)系及運(yùn)算
決定結(jié)果成立的所有條件都具備時,結(jié)果才成立,這種條件與結(jié)果之間的關(guān)系稱為“與”邏輯。
以二只串聯(lián)開關(guān)控制一只電燈為例,只有當(dāng)二只開關(guān)都閉合時,電燈才亮。令開關(guān)閉合和燈亮為邏輯“1”,開關(guān)斷開和燈暗為邏輯“0”時,有如表所示的真值表。
該“與”邏輯關(guān)系也可寫成邏輯表達(dá)式形式:。
從邏輯運(yùn)算上,是邏輯乘關(guān)系,0×0=0,0 ×1=0,1 ×0=0,1 ×1=1,“與”邏輯關(guān)系用“與”門邏輯符號表示:
2. “或”邏輯關(guān)系及運(yùn)算
決定結(jié)果成立的所有條件只要有一個具備時,結(jié)果就成立,這種條件與結(jié)果之間的關(guān)系稱為“或”邏輯。這種關(guān)系在日常生活中也是非常普遍的。以二只并聯(lián)開關(guān)控制一只電燈為例,當(dāng)其中一只開關(guān)閉合時,電燈就亮。 令開關(guān)閉合和燈亮為邏輯“1”,開關(guān)斷開和燈暗為邏輯“0”時,有如表所示的真值表。
邏輯關(guān)系式為:。
邏輯運(yùn)算為邏輯加0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1,邏輯符號如下:
真值表:
3. “非”邏輯關(guān)系及運(yùn)算
條件具備時,結(jié)果不成立,條件不具備時結(jié)果成立,這種條件與結(jié)果之間的關(guān)系稱為“非”邏輯。邏輯式為:,是求反運(yùn)算。
邏輯符號如下:
4.復(fù)雜和復(fù)合邏輯關(guān)系
(1) 異或邏輯關(guān)系
二個條件相同時,結(jié)果不成立,二個條件相異時,結(jié)果成立。 函數(shù)式:。
邏輯符號:
(2) 同或邏輯關(guān)系
二個條件相同時,結(jié)果成立,二個條件相異時,結(jié)果不成立。 函數(shù)式:。
邏輯符號:
(3)復(fù)合邏輯關(guān)系
它由“與”、“或”、“非”三種基本邏輯關(guān)系組合而成。
二、邏輯運(yùn)算中的運(yùn)算定律,常用公式,運(yùn)算規(guī)則
邏輯運(yùn)算中只有邏輯加、邏輯乘和求反三種運(yùn)算。
1 . 運(yùn)算定律
0-1律:
重疊律:
互補(bǔ)律:
否定之否定律:
交換律:
結(jié)合律:
分配律:
荻魔根定律:,其中后四個定律可以用前四個進(jìn)行證明成立,也可用真值表證明等式成立。
2 .常用公式
,,,,
,
3 .運(yùn)算規(guī)則
對偶規(guī)則:“0” →“1”、“1” →“0”、“” →“+”、“+” →“”變換前后兩式為對偶式,并成立。
反演規(guī)則: “0” →“1”、“1” →“0”、“” →“+”、“+” →“”、原變量換反變量、反變量換原變量,變換后的式子是原函數(shù)的反函數(shù)。
三、邏輯函數(shù)的表示方法及標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式
1 . 邏輯問題的五種表示方法
下圖是三只開關(guān)控制一只電燈電路。
(1) 真值表表示
令開關(guān)合上為“1”,不合為“0”,燈亮為“1”,暗為“0”時真值表。
(2) 函數(shù)表達(dá)式表示:。
(3)邏輯圖和波形圖表示:
2 . 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與—或”表達(dá)式
三開關(guān)控制一只電燈的邏輯問題的三種表達(dá)式:
第一種是由各“與項(xiàng)”之和組成,而每個“與”項(xiàng)是一個最小項(xiàng),即是標(biāo)準(zhǔn)“與—或”表達(dá)式。
最小項(xiàng):最小項(xiàng)中的變量個數(shù)和函數(shù)中的變量數(shù)相同,但最小項(xiàng)中的變量可以是函數(shù)的原變量,也可以是反變量。因此,上述例子的標(biāo)準(zhǔn)“與—或”表達(dá)式應(yīng)該是:
因此,變量的邏輯函數(shù),應(yīng)有8個最小項(xiàng)()。
由此可見:對輸入變量的任何一種取值,只有一個最小項(xiàng)的值為1;任何二個最小項(xiàng)相與結(jié)果為零(即);全部最小項(xiàng)之和,其值恒為1(即);只差一個變量不同的二個最小項(xiàng),邏輯上稱相鄰,可合并成一項(xiàng),并消去一個變量。只差一個變量不同的二個最小項(xiàng),邏輯上稱相鄰,可合并成一項(xiàng),并消去一個變量。
3. 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或—與”表達(dá)式
“或—與”表達(dá)式由各“或”項(xiàng)之積組成,而每個“或”項(xiàng)是一個最大項(xiàng)。
最大項(xiàng):最大項(xiàng)中的變量個數(shù)和函數(shù)中的變量數(shù)相同,最大項(xiàng)中的變量同樣可以是原變量,也可以是反變量。因此,三只開關(guān)控制電燈例子的標(biāo)準(zhǔn)“或—與”表達(dá)式應(yīng)該是:
與最小項(xiàng)時對應(yīng),最大項(xiàng)對輸入變量的任何一種取值,只有一個最大項(xiàng)的值為0;任何二個最大項(xiàng)相或,結(jié)果為1,即:。全部最大項(xiàng)之積,其值恒為0,即:。
只差一個變量不同的二個最大項(xiàng),邏輯上稱相鄰,可合并成一項(xiàng),并消去一個變量。
上述可見:最小項(xiàng)之和和最大項(xiàng)之積式只是同一個邏輯問題的二種不同表示方法。是一種互補(bǔ)的表示方法,有:。