線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述中常用的一些基本概念。
①系統(tǒng)的狀態(tài)或狀態(tài)變量。 描述動力學(xué)系統(tǒng)在時(shí)間域內(nèi)的動態(tài)行為或運(yùn)動信息的集合稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。能夠完全描述系統(tǒng)的所用的相對獨(dú)立且數(shù)目最少的一組狀態(tài)，稱為狀態(tài)變量。
需要指出的是狀態(tài)變量的選取具有不唯一性，只要被選取的狀態(tài)之間相互獨(dú)立即可，但狀態(tài)變量中包含的狀態(tài)的個(gè)數(shù)卻是唯一的。一般意義上講，所選取的狀態(tài)變量可以具有物理意義，也可以只具有數(shù)學(xué)上的意義，但在工程實(shí)踐中，往往選取容易測量的量作為狀態(tài)變量以便實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。
②狀態(tài)向量。 如果完全描述一個(gè)給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個(gè)狀態(tài)變量，那么可將這些狀態(tài)變量看作是向量x(t)的各個(gè)分量，即
則x(t)稱為n維狀態(tài)向量。通常意義上的狀態(tài)是指狀態(tài)變量或狀態(tài)向量。那么，動力學(xué)系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)x(t)是由初始時(shí)刻t0時(shí)的狀態(tài)x(t0)和t≥t0時(shí)的輸入u(t)唯一確定，與t0前的狀態(tài)和輸入無關(guān)。
③狀態(tài)空間。 以n維狀態(tài)變量的各個(gè)分量作為基底所形成的n維空間叫做狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任何時(shí)刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)來表示。
④狀態(tài)方程和輸出方程。 在狀態(tài)空間分析方法中，用三種變量來描述一個(gè)系統(tǒng)：即輸入變量、狀態(tài)變量、輸出變量。描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系不是僅從外部來描述，而是更注重系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)的作用。
連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階微分方程組表示
(1a)
輸出方程的一般形式為
(1b)
其中，x(t)為n維狀態(tài)向量，u(t)為r維輸入向量，y(t)為m維輸出向量。
離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階差分方程組表示
(2a)
輸出方程的一般形式為
(2b)
其中，x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為r維輸入向量，y(k)為m維輸出向量。
狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)輸入變化引起狀態(tài)變化的作用過程，輸出方程描述的是狀態(tài)變化引起輸出變化的作用過程?？梢钥闯觯@樣對系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的分段描述，更能強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的本質(zhì)作用，比起傳遞函數(shù)的直接外部描述來說，更能揭示系統(tǒng)的本質(zhì)。
⑤狀態(tài)空間描述。 用狀態(tài)方程和輸出方程來描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)方程和輸出方程也被統(tǒng)稱為動態(tài)方程。
對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其動態(tài)方程可以表示為
(3a)
(3b)
對于線性定常離散系統(tǒng)，其動態(tài)方程可以表示為
(4a)
(4b)
式中，為n×n維狀態(tài)矩陣；為n×r維輸入矩陣；為m×n維輸出矩陣；為m×r維直接傳輸矩陣。